Trigonometría

Física

Química

¿Que son las razones trigonométricas?

La base de la trigonometría está en las razones trigonométricas, valores numéricos asociados a cada ángulo, que permiten relacionar operativamente los ángulos y lados de los triángulos.

Hay otros medios para determinar el valor de los ángulos por medio de razones de dos segmentos.

razones trigonometricas segmentos

Los triángulos formados: ABX, CDX y EFX son semejantes por construcción y podemos establecer las siguientes razones:

1ª De ordenadas a radios:


2ª De abcisas a radios:


3ª De ordenadas a abcisas:

Estas razones se denominan razones goniométricas o trigonométricas y reciben nombres especiales las más importantes son seno, coseno y tangente, que se definen a continuación:

Seno de un arco mB es la razón de la ordenada AB del extremo del arco al radio r =XB del mismo:

El seno se escribe abreviadamente sen.

Coseno de un arco mB es la razón de la abcisa XA de su extremo al radio, y se escribeí:

Tangente de un arco mB es la razón entre la ordenada BA y la abcisa XA del extremo del arco, y se escribe:

Además de las razones anteriores existen sus inversas.

Cotangente de un arco mB es la función inversa de la tangente, y viene dada por la razón de la abcisa a la ordenada del extremo del arco; así:

ó también:

Secante es la razón inversa del coseno, esto es:

Cosecante es la razón inversa del seno ; así:

Existen además otras dos funciones trigonométricas muy poco empleadas, y son: el senoverso y el cosenoverso.

Senoverso de un arco es la diferencia 1-sen : el cosenoverso es la diferencia 1-cos

Teniendo en cuenta que las relaciones


y sus inversas son constantes, cualquiera sea el valor de r, se deduce que: las razones trigonométricas de un ángulo son las de una cualquiera de sus arcos correspondientes.

Razones en trigonometría

En la ilustración el triángulo rectángulo ABC; hallemos todas las posibles razones entre las longitudes de sus lados, referidas a los ángulos y y .
Razones  triángulo rectángulo

Solución

De igual forma se pueden obtener las razones referidas al ángulo .

Dado un ángulo B, en posición normal seleccionemos un punto cualquiera P en su lado final, con distancia al origen r, con abscisa x y ordenada y.

razones referidas al ángulo

Conclusión:
Las razones trigonométricas del ángulo B se definen por:

, , , , ,

Comprobemos que estas razones no dependen de la posición del punto P el lado final de ángulo B.

Si seleccionamos otro punto P’ de coordenadas (x’ y’) entonces los triángulos OPQ y OP’Q’, son semejantes.

Proporciones, triangulo rectángulo

Por tanto, se tienen las siguientes proporciones:

Luego las razones trigonométricas no dependen de la elección del punto P en el lado final; de esta manera, por cada ángulo en posición normal, cada una de las razones trigonométricas tiene un único valor.

De lo anterior, estas razones trigonométricas son funciones trigonométricas cuyo dominio son todos los ángulos en posición normal.